Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (\sqrt{x}) e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 8} e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot e^{lim_{x \to 8} - \frac{x}{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot e^{- lim_{x \to 8} \frac{x}{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8} \cdot e^{- \frac{1}{2} lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot 8}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot 8}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot 8}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot 8}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 \sqrt{2} \cdot e^{\frac{- 1}{2} \cdot 8}$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} \cdot e^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (4))}$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{2} \cdot e^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 4)}$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{2} \cdot e^{- 1 \cdot 4}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 \sqrt{2} \cdot e^{- 4}$

Schritt 7.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{e^{4}}$

Schritt 7.6

Multipliziere $2 \sqrt{2} \frac{1}{e^{4}}$ .

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Schritt 7.6.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{4}}$ und $2$ .

$\frac{2}{e^{4}} \sqrt{2}$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $\frac{2}{e^{4}}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{4}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{4}}$

Dezimalform:

$0.05180444 \dots$