Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Schritt 14.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $12$ mit $512$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15.4

Subtrahiere $40$ von $6144$ .

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15.5

Addiere $6104$ und $7$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15.7

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Schritt 15.8

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

Schritt 15.9

Mutltipliziere $3$ mit $512$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

Schritt 15.10

Addiere $1$ und $256$ .

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

Schritt 15.11

Addiere $257$ und $1536$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

Schritt 15.12

Schreibe $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ als $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ um.

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

Schritt 15.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.13.1

Schreibe $6111$ als $3^{2} \cdot 679$ um.

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Schritt 15.13.1.1

Faktorisiere $9$ aus $6111$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

Schritt 15.13.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

Schritt 15.13.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

Schritt 15.14

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ mit $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

Schritt 15.15

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.15.1

Mutltipliziere $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ mit $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

Schritt 15.15.2

Potenziere $\sqrt{1793}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

Schritt 15.15.3

Potenziere $\sqrt{1793}$ mit $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

Schritt 15.15.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

Schritt 15.15.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

Schritt 15.15.6

Schreibe ${\sqrt{1793}}^{2}$ als $1793$ um.

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Schritt 15.15.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1793}$ als $1793^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 15.15.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 15.15.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.15.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.15.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 15.15.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

Schritt 15.15.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

Schritt 15.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.16.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

Schritt 15.16.2

Mutltipliziere $1793$ mit $679$ .

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Dezimalform:

$1.84614580 \dots$