Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (\sqrt{x^{2} + 3 x}) - \sqrt{x^{2} + x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 3 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 3 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + x}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + x}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 3 lim_{x \to 8} x} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 3 \cdot 8} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 3 \cdot 8} - \sqrt{8^{2} + lim_{x \to 8} x}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8^{2} + 3 \cdot 8} - \sqrt{8^{2} + 8}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + 3 \cdot 8} - \sqrt{8^{2} + 8}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\sqrt{64 + 24} - \sqrt{8^{2} + 8}$

Schritt 10.3

Addiere $64$ und $24$ .

$\sqrt{88} - \sqrt{8^{2} + 8}$

Schritt 10.4

Schreibe $88$ als $2^{2} \cdot 22$ um.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $4$ aus $88$ heraus.

$\sqrt{4 (22)} - \sqrt{8^{2} + 8}$

Schritt 10.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 22} - \sqrt{8^{2} + 8}$

Schritt 10.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{22} - \sqrt{8^{2} + 8}$

Schritt 10.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 \sqrt{22} - \sqrt{64 + 8}$

Schritt 10.7

Addiere $64$ und $8$ .

$2 \sqrt{22} - \sqrt{72}$

Schritt 10.8

Schreibe $72$ als $6^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 10.8.1

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$2 \sqrt{22} - \sqrt{36 (2)}$

Schritt 10.8.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$2 \sqrt{22} - \sqrt{6^{2} \cdot 2}$

Schritt 10.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{22} - (6 \sqrt{2})$

Schritt 10.10

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$2 \sqrt{22} - 6 \sqrt{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \sqrt{22} - 6 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$0.89555014 \dots$