Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (2 x)}{e^{x} - 3 x - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} 2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\sin (16)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Berechne $\sin (16)$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1 \cdot 1}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $1$ von $- 24$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 25}$

Schritt 9.2.4

Schreibe $e^{8} - 25$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 9.2.4.1

Schreibe $e^{8}$ als ${(e^{4})}^{2}$ um.

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 25}$

Schritt 9.2.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 5^{2}}$

Schritt 9.2.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = e^{4}$ und $b = 5$ .

$\frac{0.27563735}{(e^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Schritt 9.3

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{0.27563735}{({2.71828182}^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Schritt 9.4

Potenziere $2.71828182$ mit $4$ .

$\frac{0.27563735}{(54.59815003 + 5) (e^{4} - 5)}$

Schritt 9.5

Addiere $54.59815003$ und $5$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (e^{4} - 5)}$

Schritt 9.6

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$\frac{0.27563735}{59.59815003 ({2.71828182}^{4} - 5)}$

Schritt 9.7

Potenziere $2.71828182$ mit $4$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (54.59815003 - 5)}$

Schritt 9.8

Subtrahiere $5$ von $54.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 \cdot 49.59815003}$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $59.59815003$ mit $49.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{2955.95798704}$

Schritt 9.10

Dividiere $0.27563735$ durch $2955.95798704$ .

$0.00009324$