Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \log_{13} (1 + 13^{- x})$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\log_{13} (lim_{x \to 8} 1 + 13^{- x})$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\log_{13} (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 13^{- x})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\log_{13} (1 + lim_{x \to 8} 13^{- x})$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\log_{13} (1 + 13^{lim_{x \to 8} - x})$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\log_{13} (1 + 13^{- lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\log_{13} (1 + 13^{- 8})$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{13} (1 + \frac{1}{13^{8}})$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $13$ mit $8$ .

$\log_{13} (1 + \frac{1}{815730721})$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\log_{13} (\frac{815730721}{815730721} + \frac{1}{815730721})$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\log_{13} (\frac{815730721 + 1}{815730721})$

Schritt 6.2.4

Addiere $815730721$ und $1$ .

$\log_{13} (\frac{815730722}{815730721})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\log_{13} (\frac{815730722}{815730721})$

Dezimalform:

$4.779411 \cdot 10^{- 10}$