Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sin (x)}{lim_{x \to 8} 1 - \cos (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 1 - \cos (x)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \cos (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} x)}{1 - lim_{x \to 8} \cos (x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} x)}{1 - \cos (lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sin (8)}{1 - \cos (lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sin (8)}{1 - \cos (8)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Berechne $\sin (8)$ .

$\frac{0.1391731}{1 - \cos (8)}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\cos (8)$ .

$\frac{0.1391731}{1 - 1 \cdot 0.99026806}$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.99026806$ .

$\frac{0.1391731}{1 - 0.99026806}$

Schritt 7.2.3

Subtrahiere $0.99026806$ von $1$ .

$\frac{0.1391731}{0.00973193}$

Schritt 7.3

Dividiere $0.1391731$ durch $0.00973193$ .

$14.30066625$