Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 7 x e^{\frac{1}{x} - 7 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 lim_{x \to 8} x e^{\frac{1}{x} - 7 x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$7 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} - 7 x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$7 lim_{x \to 8} x \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} - 7 x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$7 lim_{x \to 8} x \cdot e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} - lim_{x \to 8} 7 x}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$7 lim_{x \to 8} x \cdot e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 7 x}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$7 lim_{x \to 8} x \cdot e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 7 x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 lim_{x \to 8} x \cdot e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - 7 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \cdot 8 \cdot e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} - 7 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \cdot 8 \cdot e^{\frac{1}{8} - 7 lim_{x \to 8} x}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \cdot 8 \cdot e^{\frac{1}{8} - 7 \cdot 8}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$56 \cdot e^{\frac{1}{8} - 7 \cdot 8}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$56 \cdot e^{\frac{1}{8} - 56}$

Schritt 9.3

Um $- 56$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$56 \cdot e^{\frac{1}{8} - 56 \cdot \frac{8}{8}}$

Schritt 9.4

Kombiniere $- 56$ und $\frac{8}{8}$ .

$56 \cdot e^{\frac{1}{8} + \frac{- 56 \cdot 8}{8}}$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$56 \cdot e^{\frac{1 - 56 \cdot 8}{8}}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1

Mutltipliziere $- 56$ mit $8$ .

$56 \cdot e^{\frac{1 - 448}{8}}$

Schritt 9.6.2

Subtrahiere $448$ von $1$ .

$56 \cdot e^{\frac{- 447}{8}}$

Schritt 9.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$56 \cdot e^{- \frac{447}{8}}$

Schritt 9.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$56 \cdot \frac{1}{e^{\frac{447}{8}}}$

Schritt 9.9

Kombiniere $56$ und $\frac{1}{e^{\frac{447}{8}}}$ .

$\frac{56}{e^{\frac{447}{8}}}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{56}{e^{\frac{447}{8}}}$

Dezimalform:

$3.03377837 \cdot 10^{- 23}$