Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} - 3 p x^{- \frac{1}{3}} + 3 p$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$- lim_{x \to 8} 3 p x^{- \frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 3 p$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $3 p$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 1 \cdot 3 p lim_{x \to 8} x^{- \frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 3 p$

Schritt 1.3

Ziehe den Exponenten $- \frac{1}{3}$ von $x^{- \frac{1}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 1 \cdot 3 p {(lim_{x \to 8} x)}^{- \frac{1}{3}} + lim_{x \to 8} 3 p$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $3 p$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$- 1 \cdot 3 p {(lim_{x \to 8} x)}^{- \frac{1}{3}} + 3 p$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$- 1 \cdot 3 p \cdot 8^{- \frac{1}{3}} + 3 p$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 p \cdot 8^{- \frac{1}{3}} + 3 p$

Schritt 3.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 p \cdot \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} + 3 p$

Schritt 3.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.3.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- 3 p \cdot \frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{1}{3}}} + 3 p$

Schritt 3.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 p \cdot \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}} + 3 p$

Schritt 3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 p \cdot \frac{1}{2^{3 (\frac{1}{3})}} + 3 p$

Schritt 3.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 p \cdot \frac{1}{2^{1}} + 3 p$

Schritt 3.1.3.4

Berechne den Exponenten.

$- 3 p \cdot \frac{1}{2} + 3 p$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- 3 p \frac{1}{2}$ .

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Schritt 3.1.4.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$p \frac{- 3}{2} + 3 p$

Schritt 3.1.4.2

Kombiniere $p$ und $\frac{- 3}{2}$ .

$\frac{p \cdot - 3}{2} + 3 p$

Schritt 3.1.5

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{- 3 \cdot p}{2} + 3 p$

Schritt 3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 p}{2} + 3 p$

Schritt 3.2

Um $3 p$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 p}{2} + 3 p \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3

Kombiniere $3 p$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 p}{2} + \frac{3 p \cdot 2}{2}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 p + 3 p \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $3 p$ aus $- 3 p + 3 p \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.5.1.1

Faktorisiere $3 p$ aus $- 3 p$ heraus.

$\frac{3 p (- 1) + 3 p \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.1.2

Faktorisiere $3 p$ aus $3 p \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 p (- 1) + 3 p (2)}{2}$

Schritt 3.5.1.3

Faktorisiere $3 p$ aus $3 p (- 1) + 3 p (2)$ heraus.

$\frac{3 p (- 1 + 2)}{2}$

Schritt 3.5.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{3 p \cdot 1}{2}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 p}{2}$