Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 2 + \frac{132}{x} + \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $132$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 + 132 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$2 + 132 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{lim_{x \to 8} \sin^{4} (x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $4$ von $\sin^{4} (x^{5})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{{(lim_{x \to 8} \sin (x^{5}))}^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} (lim_{x \to 8} x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $5$ von $x^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 12.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $132$ heraus.

$2 + 4 (33) \frac{1}{8} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Schritt 12.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Schritt 12.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Schritt 12.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 + 33 (\frac{1}{2}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $33$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Schritt 12.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.3.1

Potenziere $8$ mit $5$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (32768)}{8^{4}}$

Schritt 12.1.3.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8)}{8^{4}}$

Schritt 12.1.3.3

Berechne $\sin (8)$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{{0.1391731}^{4}}{8^{4}}$

Schritt 12.1.3.4

Potenziere $0.1391731$ mit $4$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{8^{4}}$

Schritt 12.1.4

Potenziere $8$ mit $4$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{4096}$

Schritt 12.1.5

Dividiere $0.00037516$ durch $4096$ .

$2 + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Schritt 12.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 12.2.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2}{1} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Schritt 12.2.4

Schreibe $0.00000009$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1}$

Schritt 12.2.5

Mutltipliziere $\frac{0.00000009}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 12.2.6

Mutltipliziere $\frac{0.00000009}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 2 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $0.00000009$ mit $2$ .

$\frac{4 + 33 + 0.00000018}{2}$

Schritt 12.5

Addiere $4$ und $33$ .

$\frac{37 + 0.00000018}{2}$

Schritt 12.6

Addiere $37$ und $0.00000018$ .

$\frac{37.00000018}{2}$

Schritt 12.7

Dividiere $37.00000018$ durch $2$ .

$18.50000009$