Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{2 (\cos (7 x - 4 x))}{5 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{2}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{5} lim_{x \to 8} \frac{\cos (7 x - 4 x)}{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \cos (7 x - 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 8} 7 x - 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 5

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4 x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{8}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{2 (4)}$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{2 \cdot 4}$

Schritt 8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 8 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{4}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (56 - 1 \cdot 4 \cdot 8)}{4}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (56 - 4 \cdot 8)}{4}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\cos (56 - 32)}{4}$

Schritt 8.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{\cos (56 - 32)}{4}$ .

$\frac{\cos (56 - 32)}{5 \cdot 4}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{\cos (56 - 32)}{20}$

Schritt 8.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.7.1

Subtrahiere $32$ von $56$ .

$\frac{\cos (24)}{20}$

Schritt 8.7.2

Berechne $\cos (24)$ .

$\frac{0.91354545}{20}$

Schritt 8.8

Dividiere $0.91354545$ durch $20$ .

$0.04567727$