Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} 1 - \frac{| x - x^{2} |}{\sqrt{x^{4} + | x |}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$lim_{x \to - 8} 1 - lim_{x \to - 8} \frac{| x - x^{2} |}{\sqrt{x^{4} + | x |}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$1 - lim_{x \to - 8} \frac{| x - x^{2} |}{\sqrt{x^{4} + | x |}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$1 - \frac{lim_{x \to - 8} | x - x^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Schritt 4

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - x^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} x^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{4} + | x |}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{4} + | x |}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} | x |}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} | x |}}$

Schritt 10

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$1 - \frac{| lim_{x \to - 8} x - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(- 8)}^{2} |}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(- 8)}^{2} |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | lim_{x \to - 8} x |}}$

Schritt 11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$1 - \frac{| - 8 - {(- 8)}^{2} |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$1 - \frac{| - 8 - 1 \cdot 64 |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$1 - \frac{| - 8 - 64 |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Schritt 12.1.3

Subtrahiere $64$ von $- 8$ .

$1 - \frac{| - 72 |}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Schritt 12.1.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 72$ und $0$ ist $72$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{{(- 8)}^{4} + | - 8 |}}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Potenziere $- 8$ mit $4$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{4096 + | - 8 |}}$

Schritt 12.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 8$ und $0$ ist $8$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{4096 + 8}}$

Schritt 12.2.3

Addiere $4096$ und $8$ .

$1 - \frac{72}{\sqrt{4104}}$

Schritt 12.2.4

Schreibe $4104$ als $6^{2} \cdot 114$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Faktorisiere $36$ aus $4104$ heraus.

$1 - \frac{72}{\sqrt{36 (114)}}$

Schritt 12.2.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$1 - \frac{72}{\sqrt{6^{2} \cdot 114}}$

Schritt 12.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 - \frac{72}{6 \sqrt{114}}$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Faktorisiere $6$ aus $72$ heraus.

$1 - \frac{6 \cdot 12}{6 \sqrt{114}}$

Schritt 12.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \sqrt{114}$ heraus.

$1 - \frac{6 \cdot 12}{6 (\sqrt{114})}$

Schritt 12.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - \frac{6 \cdot 12}{6 \sqrt{114}}$

Schritt 12.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{12}{\sqrt{114}}$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $\frac{12}{\sqrt{114}}$ mit $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{114}}$ .

$1 - (\frac{12}{\sqrt{114}} \cdot \frac{\sqrt{114}}{\sqrt{114}})$

Schritt 12.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1

Mutltipliziere $\frac{12}{\sqrt{114}}$ mit $\frac{\sqrt{114}}{\sqrt{114}}$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{\sqrt{114} \sqrt{114}}$

Schritt 12.5.2

Potenziere $\sqrt{114}$ mit $1$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{1} \sqrt{114}}$

Schritt 12.5.3

Potenziere $\sqrt{114}$ mit $1$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{1} {\sqrt{114}}^{1}}$

Schritt 12.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{\sqrt{114}}^{2}}$

Schritt 12.5.6

Schreibe ${\sqrt{114}}^{2}$ als $114$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{114}$ als $114^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{{(114^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114^{1}}$

Schritt 12.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$1 - \frac{12 \sqrt{114}}{114}$

Schritt 12.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $114$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.6.1

Faktorisiere $6$ aus $12 \sqrt{114}$ heraus.

$1 - \frac{6 (2 \sqrt{114})}{114}$

Schritt 12.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.6.2.1

Faktorisiere $6$ aus $114$ heraus.

$1 - \frac{6 (2 \sqrt{114})}{6 (19)}$

Schritt 12.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - \frac{6 (2 \sqrt{114})}{6 \cdot 19}$

Schritt 12.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{2 \sqrt{114}}{19}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$1 - \frac{2 \sqrt{114}}{19}$

Dezimalform:

$- 0.12390297 \dots$