Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (1) (\frac{\sqrt{9 x^{2} \cdot (100 x) - 2}}{4 x + 500})$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{9 x^{2} \cdot (100 x) - 2}}{4 x + 500}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} \cdot (100 x) - 2}}{4 x + 500}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} \cdot (100 x) - 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + 500}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} \cdot (100 x) - 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + 500}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} \cdot 100 x - lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + 500}$

Schritt 5

Ziehe den Term $9 \cdot 100$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 lim_{x \to 8} x^{2} x - lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + 500}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 lim_{x \to 8} x^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + 500}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + 500}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + 500}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}{lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 500}$

Schritt 10

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}{4 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 500}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $500$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}{4 lim_{x \to 8} x + 500}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 \cdot 8^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}}{4 lim_{x \to 8} x + 500}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 \cdot 8^{2} \cdot 8 - 1 \cdot 2}}{4 lim_{x \to 8} x + 500}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 \cdot 8^{2} \cdot 8 - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Multipliziere $8^{2}$ mit $8$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.1

Bewege $8$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 \cdot (8 \cdot 8^{2}) - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $8^{2}$ .

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Schritt 13.1.1.2.1

Potenziere $8$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 \cdot (8^{1} \cdot 8^{2}) - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 \cdot 8^{1 + 2} - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 100 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $100$ .

$\frac{\sqrt{900 \cdot 8^{3} - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{900 \cdot 512 - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.4

Mutltipliziere $900$ mit $512$ .

$\frac{\sqrt{460800 - 1 \cdot 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{460800 - 2}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.1.6

Subtrahiere $2$ von $460800$ .

$\frac{\sqrt{460798}}{4 \cdot 8 + 500}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{460798}}{32 + 500}$

Schritt 13.2.2

Addiere $32$ und $500$ .

$\frac{\sqrt{460798}}{532}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{460798}}{532}$

Dezimalform:

$1.27597939 \dots$