Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x^{\frac{1}{3}} \cdot lim_{x \to 8} x - 4$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $\frac{1}{3}$ von $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} \cdot lim_{x \to 8} x - 4$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

${(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

${(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{1}{3}} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4)$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8^{\frac{1}{3}} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4)$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8^{\frac{1}{3}} \cdot (8 - 1 \cdot 4)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(2^{3})}^{\frac{1}{3}} \cdot (8 - 1 \cdot 4)$

Schritt 6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{1}{3})} \cdot (8 - 1 \cdot 4)$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{3 (\frac{1}{3})} \cdot (8 - 1 \cdot 4)$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} \cdot (8 - 1 \cdot 4)$

Schritt 6.4

Berechne den Exponenten.

$2 \cdot (8 - 1 \cdot 4)$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 \cdot (8 - 4)$

Schritt 6.6

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$2 \cdot 4$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8$