Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{x^{4}}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{2}{x^{4}}}$ als $e^{\ln (x^{\frac{2}{x^{4}}})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\frac{2}{x^{4}}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{\frac{2}{x^{4}}})$ durch Herausziehen von $\frac{2}{x^{4}}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x^{4}} \ln (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x^{4}} \ln (x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{2 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{2 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{2 \frac{1}{8^{4}} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{2 \frac{1}{8^{4}} \cdot \ln (8)}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$e^{2 (\frac{1}{4096}) \cdot \ln (8)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4096$ heraus.

$e^{2 \frac{1}{2 (2048)} \cdot \ln (8)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 2048} \cdot \ln (8)}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{1}{2048} \cdot \ln (8)}$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2048}$ und $\ln (8)$ .

$e^{\frac{\ln (8)}{2048}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{\ln (8)}{2048}}$

Dezimalform:

$1.00101586 \dots$