Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$\sqrt[3]{- 512 - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $8$ von $- 512$ .

$\sqrt[3]{- 520} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Schritt 10.3

Schreibe $- 520$ als ${(- 2)}^{3} \cdot 65$ um.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 520$ heraus.

$\sqrt[3]{- 8 (65)} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Schritt 10.3.2

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3} \cdot 65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Schritt 10.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Schritt 10.5

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 512 + 1}$

Schritt 10.6

Addiere $- 512$ und $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 511}$

Schritt 10.7

Schreibe $- 511$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 511$ um.

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Schritt 10.7.1

Schreibe $- 511$ als $- 1 (511)$ um.

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 1 (511)}$

Schritt 10.7.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 511}$

Schritt 10.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 2 \sqrt[3]{65} - (- 1 \sqrt[3]{511})$

Schritt 10.9

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{511}$ als $- \sqrt[3]{511}$ um.

$- 2 \sqrt[3]{65} - - \sqrt[3]{511}$

Schritt 10.10

Multipliziere $- - \sqrt[3]{511}$ .

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Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} + 1 \sqrt[3]{511}$

Schritt 10.10.2

Mutltipliziere $\sqrt[3]{511}$ mit $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

Dezimalform:

$- 0.04666324 \dots$