Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + 6 x + 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $64$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 13.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 64}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere $5$ mit $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 13.4

Addiere $3$ und $48$ .

$\sqrt[3]{\frac{51 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 13.5

Addiere $51$ und $320$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Schritt 13.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 64}}$

Schritt 13.7

Mutltipliziere $64$ mit $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 4096}}$

Schritt 13.8

Addiere $1$ und $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$

Schritt 13.9

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$ als $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$

Schritt 13.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Schritt 13.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{\sqrt[3]{4097} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Schritt 13.11.2

Potenziere $\sqrt[3]{4097}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Schritt 13.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1 + 2}}$

Schritt 13.11.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{3}}$

Schritt 13.11.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4097}}^{3}$ als $4097$ um.

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Schritt 13.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4097}$ als $4097^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{(4097^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 13.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 13.11.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 13.11.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.11.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 13.11.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{1}}$

Schritt 13.11.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097}$

Schritt 13.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.12.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4097}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4097^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{4097^{2}}}{4097}$

Schritt 13.12.2

Potenziere $4097$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{16785409}}{4097}$

Schritt 13.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt[3]{371 \cdot 16785409}}{4097}$

Schritt 13.13.2

Mutltipliziere $371$ mit $16785409$ .

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

Dezimalform:

$0.44905821 \dots$