Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{10}}{e^{x}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{10}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 1.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 1.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{10}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{10}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{10}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{9}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{9}}{e^{x}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 lim_{x \to \infty} \frac{x^{9}}{e^{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \frac{lim_{x \to \infty} x^{9}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 3.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 3.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{9}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$10 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{8}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{8}}{e^{x}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 lim_{x \to \infty} \frac{x^{8}}{e^{x}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \frac{lim_{x \to \infty} x^{8}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 5.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 5.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{8}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{8}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{8}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$10 \cdot 9 lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{7}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 5.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{7}}{e^{x}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{x^{7}}{e^{x}}$

Schritt 7

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \frac{lim_{x \to \infty} x^{7}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 7.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 7.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \cdot 8 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{7}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 7.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{7}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 7.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{6}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 7.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{6}}{e^{x}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 lim_{x \to \infty} \frac{x^{6}}{e^{x}}$

Schritt 9

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \frac{lim_{x \to \infty} x^{6}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 9.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 9.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 9.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{6}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 9.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{6}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{5}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 9.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{5}}{e^{x}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}}$

Schritt 11

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 11.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 11.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 11.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 11.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x}}$

Schritt 12

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}}$

Schritt 13

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 13.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 13.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 13.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 13.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 13.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 13.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 13.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{x}}$

Schritt 14

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}}$

Schritt 15

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 15.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 15.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 15.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 15.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 15.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 15.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 15.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{x}}$

Schritt 16

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}$

Schritt 17

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 17.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 17.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 17.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 17.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 17.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 17.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 17.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 17.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}}$

Schritt 18

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Schritt 19

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 19.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Schritt 19.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 19.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 19.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 19.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 19.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Schritt 19.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Schritt 20

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{e^{x}}$ $0$ .

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21

Multipliziere $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 21.1

Mutltipliziere $10$ mit $9$ .

$90 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21.2

Mutltipliziere $90$ mit $8$ .

$720 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21.3

Mutltipliziere $720$ mit $7$ .

$5040 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21.4

Mutltipliziere $5040$ mit $6$ .

$30240 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21.5

Mutltipliziere $30240$ mit $5$ .

$151200 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21.6

Mutltipliziere $151200$ mit $4$ .

$604800 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21.7

Mutltipliziere $604800$ mit $3$ .

$1814400 \cdot 2 \cdot 0$

Schritt 21.8

Mutltipliziere $1814400$ mit $2$ .

$3628800 \cdot 0$

Schritt 21.9

Mutltipliziere $3628800$ mit $0$ .

$0$