Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt[5]{\frac{19 x^{7} + x^{10} - 73}{32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[5]{lim_{x \to 8} \frac{19 x^{7} + x^{10} - 73}{32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[5]{\frac{lim_{x \to 8} 19 x^{7} + x^{10} - 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[5]{\frac{lim_{x \to 8} 19 x^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $19$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[5]{\frac{19 lim_{x \to 8} x^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $7$ von $x^{7}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $10$ von $x^{10}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $73$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $32$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $10$ von $x^{10}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $17^{8}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $42$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Potenziere $8$ mit $7$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 2097152 + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $19$ mit $2097152$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.3

Potenziere $8$ mit $10$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 1073741824 - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $73$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 1073741824 - 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.5

Addiere $39845888$ und $1073741824$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587712 - 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.6

Subtrahiere $73$ von $1113587712$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.7

Potenziere $8$ mit $10$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{32 \cdot 1073741824 - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.8

Mutltipliziere $32$ mit $1073741824$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 17^{8} + 42}}$

Schritt 14.9

Potenziere $17$ mit $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 1 \cdot 6975757441 + 42}}$

Schritt 14.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $6975757441$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 6975757441 + 42}}$

Schritt 14.11

Subtrahiere $6975757441$ von $34359738368$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980927 + 42}}$

Schritt 14.12

Addiere $27383980927$ und $42$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980969}}$

Schritt 14.13

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980969}}$ als $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ um.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$

Schritt 14.14

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Schritt 14.15

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.15.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{\sqrt[5]{27383980969} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Schritt 14.15.2

Potenziere $\sqrt[5]{27383980969}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{1} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Schritt 14.15.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{1 + 4}}$

Schritt 14.15.4

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{5}}$

Schritt 14.15.5

Schreibe ${\sqrt[5]{27383980969}}^{5}$ als $27383980969$ um.

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Schritt 14.15.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{27383980969}$ als $27383980969^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{(27383980969^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 14.15.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 14.15.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 14.15.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 14.15.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 14.15.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{1}}$

Schritt 14.15.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969}$

Schritt 14.16

Schreibe ${\sqrt[5]{27383980969}}^{4}$ als $\sqrt[5]{27383980969^{4}}$ um.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} \sqrt[5]{27383980969^{4}}}{27383980969}$

Schritt 14.17

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639 \cdot 27383980969^{4}}}{27383980969}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt[5]{1113587639 \cdot 27383980969^{4}}}{27383980969}$

Dezimalform:

$0.52704241 \dots$