Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (\sqrt[3]{x}) (x - 2)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} x - 2$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} x - 2$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2)$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{8} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2)$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt[3]{8} \cdot (8 - 1 \cdot 2)$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\sqrt[3]{2^{3}} \cdot (8 - 1 \cdot 2)$

Schritt 6.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$2 \cdot (8 - 1 \cdot 2)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \cdot (8 - 2)$

Schritt 6.4

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$2 \cdot 6$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12$