Analysis Beispiele

$f (x) = 2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ als ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0 + \frac{d}{d x} [- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 25 - 6 x + x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $25 - 6 x + x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - 6 x + x^{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - 6 x + x^{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $25 - 6 x + x^{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - 6 x + x^{2}])$

Schritt 1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - 6 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 1.2.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 1.2.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Schritt 1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Schritt 1.2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Schritt 1.2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Schritt 1.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Schritt 1.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Schritt 1.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Schritt 1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Schritt 1.2.14

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 + 2 x))$

Schritt 1.2.15

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 6 + 2 x))$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - (\frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 6 + 2 x))$

Schritt 1.2.17

Bringe ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ von $0$ .

$- \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$

Schritt 1.3.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ um.

$- (- 6 + 2 x) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- - 6 - (2 x)) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$(6 - (2 x)) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(6 - 2 x) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $6 - 2 x$ mit $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.7

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.8

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- x)$ heraus.

$\frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (3 - x)}{2 ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.3.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.3.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 - x$ und $g (x) = {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.4.6.3

Schreibe $- 1 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ um.

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 25 - 6 x + x^{2}$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.10.3

Bringe ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - 6 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.12

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.13

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.14

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.16

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18

Vereinfache.

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Schritt 2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 3 + x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.18.2.1

Es sei $u_{2} = {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(3 - x - u_{2}) (3 - x + u_{2})}{u_{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(3 - x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (3 - x + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.18.2.3.1

Multipliziere $(3 - x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (3 - x + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \cdot 3 - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 + 3 (- x) + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \cdot 3 - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \cdot 3 - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.3.2.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + 1 x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (- 1 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.11

Mutltipliziere ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.12

Multipliziere ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.2.3.2.12.1

Bewege ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.12.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - (25 - 6 x + x^{2})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.13

Vereinfache $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - (25 - 6 x + x^{2})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.14

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 1 \cdot 25 - (- 6 x) - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.18.2.3.2.15.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 - (- 6 x) - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.2.15.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}$ .

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Schritt 2.18.2.3.3.1

Subtrahiere $3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ von $3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 0 + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.3.2

Addiere $9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $- x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ neu an.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.3.4

Addiere $- x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ und $x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} + 0 - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.3.5

Addiere $9 - 3 x - 3 x + x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.3.6

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x - 25 + 6 x + 0}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.3.7

Addiere $9 - 3 x - 3 x - 25 + 6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x - 25 + 6 x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.4

Subtrahiere $25$ von $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 3 x - 3 x - 16 + 6 x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.5

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 6 x - 16 + 6 x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 6 x - 16 + 6 x$ .

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Schritt 2.18.2.3.6.1

Addiere $- 6 x$ und $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.3.6.2

Subtrahiere $16$ von $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.18.3.1

Schreibe $\frac{- \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{25 - 6 x + x^{2}}$

Schritt 2.18.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{25 - 6 x + x^{2}}$ mit $\frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{(25 - 6 x + x^{2}) {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18.3.3

Multipliziere $25 - 6 x + x^{2}$ mit ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.18.3.3.1

Mutltipliziere $25 - 6 x + x^{2}$ mit ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.18.3.3.1.1

Potenziere $25 - 6 x + x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{(25 - 6 x + x^{2}) {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.18.3.3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}})$

Schritt 4.1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ als ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.1.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 25 - 6 x + x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))$

Schritt 4.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))$

Schritt 4.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))$

Schritt 4.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - 6 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Schritt 4.1.2.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Schritt 4.1.2.6

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Schritt 4.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Schritt 4.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.14

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.15

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 6 + 2 x)))$

Schritt 4.1.2.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 6 + 2 x))$

Schritt 4.1.2.17

Bringe ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x)$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ von $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x)$

Schritt 4.1.3.2

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ um.

$f' (x) = - (- 6 + 2 x) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = (6 - (2 x)) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f' (x) = (6 - (2 x)) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = (6 - 2 x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.1.3.6

Mutltipliziere $6 - 2 x$ mit $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{6 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.7

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.8

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.9

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- x)$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (3 - x)}{2 ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.1.3.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.1.3.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 - x = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 5.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 3$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{16}{{(25 - 6 \cdot 3 + {(3)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$- \frac{16}{{(25 - 18 + 3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{16}{{(25 - 18 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $18$ von $25$ .

$- \frac{16}{{(7 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.3

Addiere $7$ und $9$ .

$- \frac{16}{16^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- \frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 9.1.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 9.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{16}{4^{3}}$

Schritt 9.1.7

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{16}{64}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $64$ .

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$- \frac{16 (1)}{64}$

Schritt 9.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.2.1

Faktorisiere $16$ aus $64$ heraus.

$- \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Schritt 9.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Schritt 9.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 10

$x = 3$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 3$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 3$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{25 - 6 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{25 - 18 + {(3)}^{2}}$

Schritt 11.2.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{25 - 18 + 9}$

Schritt 11.2.1.3

Subtrahiere $18$ von $25$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{7 + 9}$

Schritt 11.2.1.4

Addiere $7$ und $9$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{16}$

Schritt 11.2.1.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (3) = 2 - \sqrt{4^{2}}$

Schritt 11.2.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (3) = 2 - 1 \cdot 4$

Schritt 11.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (3) = 2 - 4$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$f (3) = - 2$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ .

$(3, - 2)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13