Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} (x^{2} - 1) (2 - \cos (x))$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} x^{2} - 1 \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} 2 - \cos (x)$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - lim_{x \to 0} \cos (x))$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$(0^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (lim_{x \to 0} x))$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$(0^{2} - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (0))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot (2 - \cos (0))$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(0 - 1) \cdot (2 - \cos (0))$

Schritt 9.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1 \cdot (2 - \cos (0))$

Schritt 9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot (2 - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 \cdot (2 - 1)$

Schritt 9.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$