Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{2 x} - \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{2 x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x)}{1} - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 2.4

Dividiere $3 \cos (3 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \frac{3 x}{\sin (4 x)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (4 x)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (4 x)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 4.1.3.1.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \frac{0}{\sin (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \frac{0}{\sin (4 \cdot 0)}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 \frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 4.1.3.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{0}{0})$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Schritt 4.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x) \cdot 4}$

Schritt 4.3.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cos (4 x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (4 x)}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Schritt 5.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 \cdot 0) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cos (3 \cdot 0) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \cos (3 \cdot 0) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{3}{2} \cos (0) - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1 - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} - 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{2} - \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$

Schritt 7.1.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (4 \cdot 0)}$ nach $\sec (4 \cdot 0)$ um.

$\frac{3}{2} - \frac{3}{4} \sec (4 \cdot 0)$

Schritt 7.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{4} \sec (0)$

Schritt 7.1.9

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{4} \cdot 1$

Schritt 7.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} - \frac{3}{4}$

Schritt 7.2

Um $\frac{3}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{4}$

Schritt 7.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3}{4}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{3}{4}$

Schritt 7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 2 - 3}{4}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 - 3}{4}$

Schritt 7.5.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.75$