Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\ln (\sin (x))$ und $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 3

Stelle den Grenzwert als linksseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte, indem du den Wert für die Variable einsetzt.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Schritt 4.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $π$ von $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Schritt 4.3.3

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Schritt 4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

Schritt 4.6

Da $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ nicht definiert ist, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$

Schritt 5

Stelle den Grenzwert als rechtsseitigen Grenzwert auf.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 6

Berechne den rechtsseitigen Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 6.2

Da die Funktion $\ln (\sin (x))$ gegen $- \infty$ geht, geht die positive Konstante $2$ mal der Funktion ebenfalls gegen $- \infty$ .

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Schritt 6.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $2$ entfernt.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 6.2.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (\sin (x))$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Schritt 6.3.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Schritt 6.3.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

Schritt 6.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{- \infty}{0 - π}$

Schritt 6.5.1.2

Subtrahiere $π$ von $0$ .

$\frac{- \infty}{- π}$

Schritt 6.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- \infty}{π}$

Schritt 6.5.3

Unendlich geteilt durch etwas, das endlich oder nicht-Null ist, ist Unendlich.

$- - \infty$

Schritt 6.5.4

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\infty$

Schritt 7

Wenn einer der beiden einseitigen Grenzwerte nicht existiert, dann existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$