Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (π \cos (0))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{\sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.2.3.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.4.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = π \cos (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π \cos (x)$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) (π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.5

Stelle die Faktoren von $\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Schritt 1.3.9

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.4

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π \frac{- \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.8.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{- \cos (π \cdot 1) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8.2

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π \frac{- \cos (π) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$π \frac{- - 1 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8.5

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.1.2.8.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8.6

Mutltipliziere $\sin (0)$ mit $1$ .

$π \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.2.8.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 3.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 3.1.3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 3.1.3.5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.6.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Schritt 3.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$π \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Schritt 3.1.3.6.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 3.1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$π \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$π \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$π \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$π \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$π lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (π \cos (x)) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (π \cos (x))$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = π \cos (x)$ .

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Schritt 3.3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.5.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.6

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π \cos (x)$ nach $x$ gleich $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \cdot - 1 \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\sin (π \cos (x))$ mit $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.11

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.13

Addiere $1$ und $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.3.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.14.2

Stelle die Terme um.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Schritt 3.3.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.16

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.16.1

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.16.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.16.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.16.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 3.3.17

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Schritt 3.3.18

Vereinfache.

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Schritt 3.3.18.1

Addiere $\cos (x)$ und $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 3.3.18.2

Stelle die Terme um.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.8

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.10

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.12

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.13

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.14

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Schritt 4.15

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 4.16

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 4.17

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Schritt 4.18

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

Schritt 4.19

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.5

$π \frac{- 1 \cdot (- \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot (- 1 \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.7

Multipliziere $- 1 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 6.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot - 1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$π \frac{1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.8

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0^{2} \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.10

Multipliziere $- π \cdot 0$ .

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Schritt 6.1.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$π \frac{1 + 0 π \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.11

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cdot 1)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.12

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.13

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.14

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.15

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$π \frac{1 + 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.1.16

Addiere $1$ und $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 6.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 6.2.5

Addiere $0$ und $2$ .

$π \frac{1}{2}$

Schritt 6.3

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π}{2}$

Dezimalform:

$1.57079632 \dots$