Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{2}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{\sin (x)}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{x}$ mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

Schritt 1.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner gegen $0$ geht, wenn $x$ gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{2}{x^{2}}$ gegen Unendlich.

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Schritt 4

Wende das Einschnürungstheorem an, da $\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ und $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ .

$\infty + \infty$

Schritt 5

Unendlich plus Unendlich ist Unendlich.

$\infty$