Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ mit $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}$ mit $\frac{1}{h}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2} h}$

Schritt 3

Since the numerator is negative and the denominator $3 x^{3} {(x + h)}^{2} h$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$