Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} e^{x} - \ln (x + 1)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} \ln (x + 1)$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \ln (x + 1)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{lim_{x \to 0} x} - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{lim_{x \to 0} x} - \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{lim_{x \to 0} x} - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{0} - \ln (lim_{x \to 0} x + 1)$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{0} - \ln (0 + 1)$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - \ln (0 + 1)$

Schritt 7.1.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1 - \ln (1)$

Schritt 7.1.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$1 - 0$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.2

Addiere $1$ und $0$ .

$1$