Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{3} + 8 y^{2}}{3 y^{4} - 16 y^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} lim_{x \to 0} 5 x^{3} + 8 y^{2}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (lim_{x \to 0} 5 x^{3} + lim_{x \to 0} 8 y^{2})$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 8 y^{2})$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 8 y^{2})$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $8 y^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 8 y^{2})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3 y^{4} - 16 y^{2}} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{4} - 16 y^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $3 y^{4}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2}) - 16 y^{2}} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- 16 y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2}) + y^{2} \cdot - 16} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} (3 y^{2}) + y^{2} \cdot - 16$ heraus.

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (5 \cdot 0^{3} + 8 y^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (5 \cdot 0 + 8 y^{2})$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (0 + 8 y^{2})$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $8 y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} (8 y^{2})$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} y^{2}$

Schritt 3.5

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{y^{2} (3 y^{2} - 16)}$ .

$\frac{8}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} y^{2}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{y^{2} (3 y^{2} - 16)} y^{2}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{3 y^{2} - 16}$