Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (4 x)}{{(6 x)}^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec (4 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec (4 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec (4 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1 - \sec (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \sec (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \sec (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1 - \sec (0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(6 x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 6 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(6 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{{(6 \cdot 0)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (4 x)}{{(6 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (4 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (4 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sec (4 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (4 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec (4 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sec (4 x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sec (4 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $4 \sec (4 x) \tan (4 x)$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{\frac{d}{d x} [6^{2} x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Potenziere $6$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{\frac{d}{d x} [36 x^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36 x^{2}$ nach $x$ gleich $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{36 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{36 (2 x)}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec (4 x) \tan (4 x)}{72 x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $72$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sec (4 x) \tan (4 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (- \sec (4 x) \tan (4 x))}{72 x}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $72 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (- \sec (4 x) \tan (4 x))}{4 (18 x)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (- \sec (4 x) \tan (4 x))}{4 (18 x)}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (4 x) \tan (4 x)}{18 x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{18}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- \sec (4 x) \tan (4 x)}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{18} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - \sec (4 x) \tan (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} \sec (4 x) \tan (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} \sec (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- \sec (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- \sec (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- \sec (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- \sec (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- \sec (4 \cdot 0) \cdot \tan (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- \sec (4 \cdot 0) \cdot \tan (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- \sec (0) \cdot \tan (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \tan (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- 1 \cdot \tan (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- 1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.5

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{- 1 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.8.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{18} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{18} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (4 x) \tan (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sec (4 x) \tan (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sec (4 x) \tan (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sec (4 x) \tan (4 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sec (4 x) \tan (4 x)]$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sec (4 x) \tan (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (4 x)$ und $g (x) = \tan (4 x)$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec (4 x) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Potenziere $\sec (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec^{2} (4 x) \sec^{1} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- ({\sec (4 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec^{3} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec^{3} (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (\sec^{3} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.11

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec^{3} (4 x)$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \cdot \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.3.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.12.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.12.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.13

Potenziere $\tan (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{1} (4 x) \tan (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.14

Potenziere $\tan (4 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{1} (4 x) \tan^{1} (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 1} \sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.17

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) \cdot 4 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.19

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) \cdot 4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.20

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (4 x) \sec (4 x)$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- (4 \sec^{3} (4 x) + 4 \cdot \tan^{2} (4 x) \sec (4 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.21

Vereinfache.

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Schritt 3.3.21.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot 4 \sec^{3} (4 x) - 1 \cdot 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.21.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.21.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec^{3} (4 x) - 1 \cdot 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.21.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sec^{3} (4 x) - 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.21.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - 4 \sec^{3} (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} \frac{- 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - 4 \sec^{3} (4 x)}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $- 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - 4 \sec^{3} (4 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{18} lim_{x \to 0} - 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - 4 \sec^{3} (4 x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{18} (- lim_{x \to 0} 4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} (- 4 lim_{x \to 0} \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{18} (- 4 lim_{x \to 0} \tan^{2} (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{18} (- 4 {(lim_{x \to 0} \tan (4 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.8

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 4 \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (4 lim_{x \to 0} x) - 4 lim_{x \to 0} \sec^{3} (4 x))$

Schritt 4.10

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sec^{3} (4 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (4 lim_{x \to 0} x) - 4 {(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{3})$

Schritt 4.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sec^{3} (lim_{x \to 0} 4 x))$

Schritt 4.12

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sec^{3} (4 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 \cdot 0) \cdot \sec (4 lim_{x \to 0} x) - 4 \sec^{3} (4 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 \cdot 0) \cdot \sec (4 \cdot 0) - 4 \sec^{3} (4 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (4 \cdot 0) \cdot \sec (4 \cdot 0) - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{18} (- 4 \tan^{2} (0) \cdot \sec (4 \cdot 0) - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{18} (- 4 \cdot 0^{2} \cdot \sec (4 \cdot 0) - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{18} (- 4 \cdot 0 \cdot \sec (4 \cdot 0) - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{1}{18} (0 \cdot \sec (4 \cdot 0) - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{18} (0 \cdot \sec (0) - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6.1.6

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{18} (0 \cdot 1 - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6.1.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} (0 - 4 \sec^{3} (4 \cdot 0))$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{18} (0 - 4 \sec^{3} (0))$

Schritt 6.1.9

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{18} (0 - 4 \cdot 1^{3})$

Schritt 6.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{18} (0 - 4 \cdot 1)$

Schritt 6.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{1}{18} (0 - 4)$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$\frac{1}{18} \cdot - 4$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{1}{2 (9)} \cdot - 4$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 2)$

Schritt 6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot - 2)$

Schritt 6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} \cdot - 2$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{9}$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{9}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{9}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{2}$