Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1 + h$ und $b = 1$ .

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $h$ und $0$ .

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.3

Schreibe ${(1 + h)}^{2}$ als $(1 + h) (1 + h)$ um.

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.4

Multipliziere $(1 + h) (1 + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.5.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.5.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.5.1.4

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.5.2

Addiere $h$ und $h$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.6

Mutltipliziere $1 + h$ mit $1$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

Schritt 2.1.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

Schritt 2.1.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

Schritt 2.1.3.9

Addiere $2 h$ und $h$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

Schritt 2.1.3.10

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

Schritt 2.1.3.11

Stelle die Terme um.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Schritt 2.2.2

Dividiere $h^{2} + 3 h + 3$ durch $1$ .

$h^{2} + 3 h + 3$