Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - x) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} - x \cdot \frac{2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Schritt 1.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π - x \cdot 2}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Schritt 2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (\frac{π - 2 x}{2}) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} \frac{π - 2 x}{2}) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.3

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} π - 2 x) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} π - lim_{x \to 0} 2 x)) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - lim_{x \to 0} 2 x)) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{x \to 0} x))) - lim_{x \to 0} \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.1.7

Berechne den Grenzwert von $\cos (\frac{π}{2})$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - 1 \cdot 2 lim_{x \to 0} x)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - 1 \cdot 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot 0$ .

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Schritt 3.1.2.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π - 2 \cdot 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} (π + 0)) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} π) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - \cos (\frac{π}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (\frac{π - 2 x}{2}) - 0$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2})] + \frac{d}{d x} [- 0]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2})] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (\frac{π - 2 x}{2})]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{π - 2 x}{2}$ .

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Schritt 3.3.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π - 2 x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π - 2 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π - 2 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π - 2 x}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π - 2 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π - 2 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [π - 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [π - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $π - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.4

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.8

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{- 2}{2} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.4.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{2 \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.4.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \frac{- 1}{1} + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.10.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (\frac{π - 2 x}{2}) \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 \sin (\frac{π - 2 x}{2}) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4.12

Mutltipliziere $\sin (\frac{π - 2 x}{2})$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2}) + \frac{d}{d x} [- 0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- 0]$ .

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2}) + \frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5.2

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2}) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.6

Addiere $\sin (\frac{π - 2 x}{2})$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (\frac{π - 2 x}{2})}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $\sin (\frac{π - 2 x}{2})$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (\frac{π - 2 x}{2})$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\sin (lim_{x \to 0} \frac{π - 2 x}{2})$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to 0} π - 2 x)$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\sin (\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} π - lim_{x \to 0} 2 x))$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\sin (\frac{1}{2} (π - lim_{x \to 0} 2 x))$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 lim_{x \to 0} x)))$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - (2 \cdot 0)))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere $- (2 \cdot 0)$ .

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π - 0))$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} (π + 0))$

Schritt 6.2

Addiere $π$ und $0$ .

$\sin (\frac{1}{2} π)$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Schritt 6.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$1$