Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{x \cos (8 x)}{\cos (10 x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (10 x)}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 10 x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{\cos (10 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 7.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{\cos (10 \cdot 0)}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (8 \cdot 0)$ .

$\frac{0}{\cos (10 \cdot 0)}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Schritt 8.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$0$