Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 0} {(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1}$ als $e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})}$ um.

$\ln (lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$ durch Herausziehen von $x - 1$ aus dem Logarithmus.

$\ln (lim_{x \to 0} e^{(x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\ln (e^{lim_{x \to 0} (x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\ln (e^{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Schritt 3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + 8 x + 1)})$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Schritt 3.7

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Schritt 3.8

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)})$

Schritt 3.9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(0 - 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Schritt 5.3

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 0 + 1) \ln (e)$

Schritt 5.5

Addiere $0$ und $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 1) \ln (e)$

Schritt 5.6

Addiere $0$ und $1$ .

$- 1 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Schritt 5.7

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- 1 \cdot 0 \ln (e)$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 \ln (e)$

Schritt 5.9

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$0 \cdot 1$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0$