Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\tan (x^{2})}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (x^{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\sec (x - 1)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x - 1)}}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x - 1)} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wandle von $\frac{1}{\cos (x - 1)}$ nach $\sec (x - 1)$ um.

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Schritt 1.4.2

Wandle von $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ nach $\cot (x^{2})$ um.

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cot (x^{2})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\sec (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Schritt 4

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x^{2})$

Schritt 5

Wenn sich die $x$ -Werte von links an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\infty$

Schritt 6

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x^{2})$

Schritt 7

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot \infty$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec (0 - 1) \cdot \infty$

Schritt 8.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\sec (- 1) \cdot \infty$

Schritt 8.3

Berechne $\sec (- 1)$ .

$1.00015232 \cdot \infty$

Schritt 8.4

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$\infty$