Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\cot (x)}}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Schritt 1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 1.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.1.5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\ln (1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (4 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Schritt 2.1.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + \sin (4 x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (4 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.6.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $\cos (4 x)$ und $\frac{1}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.11

Mutltipliziere $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Schritt 2.3.12

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ mit $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$4 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.9

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Schritt 3.10

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Schritt 3.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (0)) \sec^{2} (0)}$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + 0) \sec^{2} (0)}$

Schritt 5.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{1}{1 \sec^{2} (0)}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $\sec^{2} (0)$ mit $1$ .

$4 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Schritt 5.2.5

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 5.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{1})$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 1$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$