Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{x} (1 - \frac{12}{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 8} 1 - \frac{12}{x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} 1 - \frac{12}{x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot (lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} \frac{12}{x})$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot (1 - lim_{x \to 8} \frac{12}{x})$

Schritt 5

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot (1 - 12 lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot (1 - 12 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x} \cdot (1 - 12 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8} \cdot (1 - 12 \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8} \cdot (1 - 12 (\frac{1}{8}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)} \cdot (1 - 12 (\frac{1}{8}))$

Schritt 9.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot (1 - 12 (\frac{1}{8}))$

Schritt 9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2} \cdot (1 - 12 (\frac{1}{8}))$

Schritt 9.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$2 \sqrt{2} \cdot (1 + 4 (- 3) \frac{1}{8})$

Schritt 9.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$2 \sqrt{2} \cdot (1 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Schritt 9.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{2} \cdot (1 + 4 \cdot - 3 \frac{1}{4 \cdot 2})$

Schritt 9.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \sqrt{2} \cdot (1 - 3 (\frac{1}{2}))$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \sqrt{2} \cdot (1 + \frac{- 3}{2})$

Schritt 9.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \sqrt{2} \cdot (1 - \frac{3}{2})$

Schritt 9.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} \cdot (\frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Schritt 9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{2} \cdot \frac{2 - 3}{2}$

Schritt 9.6

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$2 \sqrt{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$2 (\sqrt{2}) \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sqrt{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} \cdot - 1$

Schritt 9.8

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- 1 \cdot \sqrt{2}$

Schritt 9.9

Schreibe $- 1 \sqrt{2}$ als $- \sqrt{2}$ um.

$- \sqrt{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \sqrt{2}$

Dezimalform:

$- 1.41421356 \dots$