Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (\sqrt{9 x^{4} + 8}) - 3 x^{2} - \frac{3}{x^{4}} + 3$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 4

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\sqrt{9 \cdot 4096 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $4096$ .

$\sqrt{36864 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.3

Addiere $36864$ und $8$ .

$\sqrt{36872} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.4

Schreibe $36872$ als $2^{2} \cdot 9218$ um.

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Schritt 15.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36872$ heraus.

$\sqrt{4 (9218)} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 64 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Schritt 15.1.8

Potenziere $8$ mit $4$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 (\frac{1}{4096}) + 3$

Schritt 15.1.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 + \frac{- 3}{4096} + 3$

Schritt 15.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \sqrt{9218} - 192 - \frac{3}{4096} + 3$

Schritt 15.2

Um $- 192$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 \cdot \frac{4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

Schritt 15.3

Kombiniere $- 192$ und $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096 - 3}{4096} + 3$

Schritt 15.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.5.1

Mutltipliziere $- 192$ mit $4096$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786432 - 3}{4096} + 3$

Schritt 15.5.2

Subtrahiere $3$ von $- 786432$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435}{4096} + 3$

Schritt 15.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3$

Schritt 15.7

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3 \cdot \frac{4096}{4096}$

Schritt 15.8

Kombiniere $3$ und $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + \frac{3 \cdot 4096}{4096}$

Schritt 15.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 3 \cdot 4096}{4096}$

Schritt 15.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.10.1

Mutltipliziere $3$ mit $4096$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 12288}{4096}$

Schritt 15.10.2

Addiere $- 786435$ und $12288$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 774147}{4096}$

Schritt 15.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

Dezimalform:

$3.02009978 \dots$