Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.7.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.7.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.7.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.2.7.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

Schritt 1.1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

Schritt 1.1.3.6.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.6.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} \cos (7 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (3 x)$ und $g (x) = \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \cdot 5 + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sin (3 x) \sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot (\sin (3 x) \sec^{2} (5 x)) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.3.8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\tan (5 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) + 3 \cdot (\tan (5 x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.13

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (7 x)]}$

Schritt 1.3.14

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (7 x)] + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.15

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 1.3.15.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.15.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [7 x]) + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.15.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (- \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.16

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (- \sin (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.17

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (- 7 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (- 7 \sin (7 x) \cdot 1) + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.19

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (- 7 \sin (7 x)) + \cos (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{x^{2} (- 7 \sin (7 x)) + \cos (7 x) (2 x)}$

Schritt 1.3.21

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{5 lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{5 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.8

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.13

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.14

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 \sec^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 \sec^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.15.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 \sec^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.15.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 \sec^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.16.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.16.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{5 \sec^{2} (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{5 \cdot 1^{2} \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5 \cdot 1 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{5 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.8

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.16.1.8.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{0 + 3 (\cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.8.2

Stelle $\cos (3 \cdot 0)$ und $\tan (5 \cdot 0)$ um.

$\frac{0 + 3 (\tan (5 \cdot 0) \cdot \cos (3 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.8.3

Faktorisiere $5$ aus $3 \cdot 0$ heraus.

$\frac{0 + 3 (\tan (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 (3 \cdot 0)))}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 + 3 (\tan (5 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.8.5

Schreibe $3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \tan (5 \cdot 0)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0 + 3 (\frac{\sin (5 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)} \cos (5 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.8.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\frac{0 + 3 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.9

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 + 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.10

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.2.16.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} - 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} 7 x^{2} \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 7 lim_{x \to 0} x^{2} \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{- 7 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{- 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 0} 7 x) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.6

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.7

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{- 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

Schritt 2.1.3.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{- 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}$

Schritt 2.1.3.10

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 7 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{- 7 \cdot 0^{2} \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.12.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{- 7 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.12.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.12.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cdot 0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.12.1.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.12.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.12.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 2.1.3.12.1.7

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot \cos (0)}$

Schritt 2.1.3.12.1.8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{0 + 0 \cdot 1}$

Schritt 2.1.3.12.1.9

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 2.1.3.12.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.12.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.13

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)}{- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \tan (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x) \sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec^{2} (5 x)$ und $g (x) = \sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (5 x)$ .

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Schritt 2.3.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.3.3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.7.2

Die Ableitung von $\sec (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.7.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.11

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\sec^{2} (5 x) (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cdot \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.13

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.14

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.15

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.16

Potenziere $\sec (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.17

Potenziere $\sec (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.19

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.3.20

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \tan (5 x)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (3 x) \tan (5 x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (3 x)$ und $g (x) = \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 2.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{4}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{4})$ nach $u_{4}$ ist $\sec^{2} (u_{4})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.3.3

Ersetze alle $u_{4}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.3.4.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{5}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)) + \tan (5 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\cos (u_{5})] \frac{d}{d x} [3 x]))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.6.2

Die Ableitung von $\cos (u_{5})$ nach $u_{5}$ ist $- \sin (u_{5})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)) + \tan (5 x) (- \sin (u_{5}) \frac{d}{d x} [3 x]))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.6.3

Ersetze alle $u_{5}$ durch $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)) + \tan (5 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)) + \tan (5 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)) + \tan (5 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.9

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (\sec^{2} (5 x) \cdot 5) + \tan (5 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.10

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (\cos (3 x) (5 \cdot \sec^{2} (5 x)) + \tan (5 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.11

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (5 \cdot \cos (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.12

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) (- \sin (3 x) \cdot 3))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.4.13

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) (- 3 \sin (3 x)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x)) + 5 (10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x) + \tan (5 x) (- 3 \sin (3 x)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x)) + 5 (10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x)) + 3 (\tan (5 x) (- 3 \sin (3 x)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 (\sec^{2} (5 x) \cos (3 x)) + 5 (10 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x)) + 3 (\tan (5 x) (- 3 \sin (3 x)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 50 (\sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x)) + 3 (\tan (5 x) (- 3 \sin (3 x)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 50 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x) + 15 (\cos (3 x) \sec^{2} (5 x)) + 3 (\tan (5 x) (- 3 \sin (3 x)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 50 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x) + 15 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x) - 9 (\tan (5 x) (\sin (3 x)))}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.5

Stelle die Faktoren von $15 \cos (3 x) \sec^{2} (5 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{15 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 50 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x) + 15 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) - 9 \tan (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.3.6

Addiere $15 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x)$ und $15 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{30 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 50 \sin (3 x) \sec^{2} (5 x) \tan (5 x) - 9 \tan (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{30 \sec^{2} (5 x) \cos (3 x) + 50 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.5.1

Schreibe $\sec (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{30 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \cos (3 x) + 50 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (5 x)}$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{30 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \cos (3 x) + 50 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to 0} \frac{30 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \cos (3 x) + 50 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.4

Kombiniere $30$ und $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30}{\cos^{2} (5 x)} \cos (3 x) + 50 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.5

Kombiniere $\frac{30}{\cos^{2} (5 x)}$ und $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + 50 \sec^{2} (5 x) \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.6

Schreibe $\sec (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + 50 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.7

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (5 x)}$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + 50 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + 50 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.9

Kombiniere $50$ und $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50}{\cos^{2} (5 x)} \sin (3 x) \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.10

Kombiniere $\frac{50}{\cos^{2} (5 x)}$ und $\sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x) - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.11

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.12

Kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{2} (5 x) \cos (5 x)} - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.13

Multipliziere $\cos^{2} (5 x)$ mit $\cos (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.5.13.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (5 x)$ mit $\cos (5 x)$ .

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Schritt 2.3.5.5.13.1.1

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{2} (5 x) \cos^{1} (5 x)} - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{{\cos (5 x)}^{2 + 1}} - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.13.2

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - 9 \sin (3 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.14

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - 9 \sin (3 x) \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.15

Multipliziere $- 9 \sin (3 x) \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

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Schritt 2.3.5.5.15.1

Kombiniere $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ und $- 9$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} + \frac{\sin (5 x) \cdot - 9}{\cos (5 x)} \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.15.2

Kombiniere $\frac{\sin (5 x) \cdot - 9}{\cos (5 x)}$ und $\sin (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} + \frac{\sin (5 x) \cdot - 9 \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.16

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} + \frac{- 9 \cdot \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.5.5.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 7 x^{2} \sin (7 x) + 2 x \cos (7 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]$ .

Schritt 2.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2} \sin (7 x)]$ .

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Schritt 2.3.7.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{2} \sin (7 x)$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (7 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (7 x)] + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.2

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (7 x)] + \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 2.3.7.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (\cos (7 x) (7 \cdot 1)) + \sin (7 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

Schritt 2.3.7.7

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (\cos (7 x) \cdot 7) + \sin (7 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.7.8

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (7 \cos (7 x)) + \sin (7 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]}$

Schritt 2.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \cos (7 x)]$ .

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Schritt 2.3.8.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \cos (7 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \cos (7 x)]$ .

Schritt 2.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (7 x)$ .

Schritt 2.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 2.3.8.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x$ .

Schritt 2.3.8.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

Schritt 2.3.8.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x$ .

Schritt 2.3.8.4

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

Schritt 2.3.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

Schritt 2.3.8.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

Schritt 2.3.8.7

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

Schritt 2.3.8.8

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

Schritt 2.3.8.9

Mutltipliziere $\cos (7 x)$ mit $1$ .

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 7 (x^{2} (7 \cos (7 x))) - 7 (\sin (7 x) (2 x)) + 2 (x (- 7 \sin (7 x)) + \cos (7 x))}$

Schritt 2.3.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 2.3.9.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.9.3.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 (x^{2} (\cos (7 x))) - 7 (\sin (7 x) (2 x)) + 2 (x (- 7 \sin (7 x))) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.3.9.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 14 (\sin (7 x) (x)) + 2 (x (- 7 \sin (7 x))) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.3.9.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 14 \sin (7 x) x - 14 (x (\sin (7 x))) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.3.9.3.4

Subtrahiere $14 x \sin (7 x)$ von $- 14 \sin (7 x) x$ .

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Schritt 2.3.9.3.4.1

Bewege $\sin (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 14 x \sin (7 x) - 14 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.3.9.3.4.2

Subtrahiere $14 x \sin (7 x)$ von $- 14 x \sin (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Um $\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\cos (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos^{3} (5 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{30 \cos (3 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ mit $\frac{\cos (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x)}{\cos^{2} (5 x) \cos (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.2.2

Multipliziere $\cos^{2} (5 x)$ mit $\cos (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.2.1

Mutltipliziere $\cos^{2} (5 x)$ mit $\cos (5 x)$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x)}{\cos^{2} (5 x) \cos^{1} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x)}{{\cos (5 x)}^{2 + 1}} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} + \frac{50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.4

Um $- \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)} \cdot \frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos^{3} (5 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\cos (5 x)}$ mit $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.5.2

Multipliziere $\cos (5 x)$ mit $\cos^{2} (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.2.1

Mutltipliziere $\cos (5 x)$ mit $\cos^{2} (5 x)$ .

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Schritt 2.4.5.2.1.1

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} - \frac{9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 2.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{- 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) + 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $30$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) + lim_{x \to 0} 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 50 \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.10

Ziehe den Term $50$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.12

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.13

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.14

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.15

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 9 \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.16

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 lim_{x \to 0} \sin (5 x) \sin (3 x) \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.17

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 lim_{x \to 0} \sin (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.18

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.19

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.20

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.21

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.22

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.23

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.24

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.25

Ziehe den Exponenten $3$ von $\cos^{3} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.26

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.27

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} - 49 x^{2} \cos (7 x) - 28 x \sin (7 x) + 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.28

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- lim_{x \to 0} 49 x^{2} \cos (7 x) - lim_{x \to 0} 28 x \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.29

Ziehe den Term $49$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 lim_{x \to 0} x^{2} \cos (7 x) - lim_{x \to 0} 28 x \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.30

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (7 x) - lim_{x \to 0} 28 x \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.31

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (7 x) - lim_{x \to 0} 28 x \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.32

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (lim_{x \to 0} 7 x) - lim_{x \to 0} 28 x \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.33

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 28 x \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.34

Ziehe den Term $28$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.35

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.36

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 7 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.37

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (7 x)}$

Schritt 3.38

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (7 x)}$

Schritt 3.39

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}$

Schritt 3.40

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\frac{30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.8

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.9

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 lim_{x \to 0} x) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.10

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.11

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.12

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.13

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\frac{30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 \cos (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{30 \cdot 1 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$\frac{\frac{30 \cdot \cos (5 \cdot 0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 \cdot \cos (0) + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{30 \cdot 1 + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $30$ mit $1$ .

$\frac{\frac{30 + 50 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 50 \sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.8

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\frac{30 + 50 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.9

Mutltipliziere $50$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 \cdot \sin (5 \cdot 0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.10

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 \cdot \sin (0) - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.11

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 \cdot 0 - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.12

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 - 9 \sin (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.13

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 - 9 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.14

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 - 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.15

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 + 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.16

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 + 0 \cdot \sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.17

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 + 0 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.18

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 + 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.19

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.20

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{30 + 0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{30 + 0 + 0 \cdot 1}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.22

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{\frac{30 + 0 + 0}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.23

Addiere $30 + 0$ und $0$ .

$\frac{\frac{30 + 0}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.24

Addiere $30$ und $0$ .

$\frac{\frac{30}{\cos^{3} (5 \cdot 0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\frac{30}{\cos^{3} (0)}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{\frac{30}{1^{3}}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{\frac{30}{1}}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.3

Dividiere $30$ durch $1$ .

$\frac{30}{- 49 \cdot 0^{2} \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{30}{- 49 \cdot 0 \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 49$ mit $0$ .

$\frac{30}{0 \cdot \cos (7 \cdot 0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{30}{0 \cdot \cos (0) - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{30}{0 \cdot 1 - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{30}{0 - 28 \cdot 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 28$ mit $0$ .

$\frac{30}{0 + 0 \cdot \sin (7 \cdot 0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.7

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{30}{0 + 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.8

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{30}{0 + 0 \cdot 0 + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.9

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{30}{0 + 0 + 2 \cos (7 \cdot 0)}$

Schritt 5.4.10

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$\frac{30}{0 + 0 + 2 \cos (0)}$

Schritt 5.4.11

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{30}{0 + 0 + 2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{30}{0 + 0 + 2}$

Schritt 5.4.13

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{30}{0 + 2}$

Schritt 5.4.14

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{30}{2}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 \cdot 15}{2}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15}{1}$

Schritt 5.5.2.4

Dividiere $15$ durch $1$ .

$15$