Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} (\frac{\frac{1}{x + 5}}{x}) - (\frac{\frac{1}{5}}{x})$

Schritt 1

Vereinige Brüche unter Anwendung eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} - \frac{1}{5}}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{1}{x + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}}{x}$

Schritt 1.2.2

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}}{x}$

Schritt 1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + 5) \cdot 5$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{(x + 5) \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}}{x}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{(x + 5) \cdot 5} - \frac{x + 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.2.3.3

Stelle die Faktoren von $(x + 5) \cdot 5$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{5 (x + 5)} - \frac{x + 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - (x + 5)}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.2.5

Schreibe $\frac{5 - (x + 5)}{5 (x + 5)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - 1 \cdot 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.2.5.3

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x + 0}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.2.5.4

Addiere $- x$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{5 (x + 5)}}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{5 (x + 5)}$ in den Zähler.

$lim_{x \to 0} \frac{- x}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{5 (x + 5)}$

Schritt 1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{5 (x + 5)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0} \frac{1}{5 (x + 5)}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $\frac{1}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 5}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 5}$

Schritt 2.6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{0 + 5}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Addiere $0$ und $5$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 4.2

Multipliziere $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$- \frac{1}{25}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{25}$

Dezimalform:

$- 0.04$