Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 3$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3 x} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - x}{3 x}}{x - 3}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{3 - x}{3 x}$ mit $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 - x}{3 x (x - 3)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 - x$ und $x - 3$ .

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Schritt 2.3.1

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 3) - x}{3 x (x - 3)}$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 3) - (x)}{3 x (x - 3)}$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 3) - (x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 3 + x)}{3 x (x - 3)}$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Schritt 2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Schritt 2.3.6

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{3 x}$

Schritt 3

Da sich die Funktion von links $\infty$ , von rechts aber $- \infty$ annähert, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$