Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Berechne den Grenzwert von $\arctan (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\arctan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arctan (x) - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.5.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.5.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ mit $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Schritt 3.1.2

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $1 - (1 + x^{2})$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0)}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Schritt 3.1.2.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Schritt 3.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 3.1.3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 3.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot 0^{2}}$

Schritt 3.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.7.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 1) \cdot 0^{2}}$

Schritt 3.1.3.7.2

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0^{2}}$

Schritt 3.1.3.7.3

Mutltipliziere $0^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Schritt 3.1.3.7.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - (1 + x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

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Schritt 3.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (1 + x^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.4.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.5

Subtrahiere $2 x$ von $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Schritt 3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \cdot 2 x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Schritt 3.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 \cdot (x^{2} + 1) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Schritt 3.3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 3.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Schritt 3.3.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + 0)}$

Schritt 3.3.12

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} \cdot 2 x}$

Schritt 3.3.13

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.13.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.13.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1 + 2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.13.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{3} \cdot 2}$

Schritt 3.3.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot x^{3}}$

Schritt 3.3.15

Vereinfache.

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Schritt 3.3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 x^{3}}$

Schritt 3.3.15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Schritt 3.3.15.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.15.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1} x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Schritt 3.3.15.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Schritt 3.3.15.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Schritt 3.3.15.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}$

Schritt 3.3.15.3.5

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 x^{3} + 2 x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 5.1.3.2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 5.1.3.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Schritt 5.1.3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Schritt 5.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0}$

Schritt 5.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.6.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Schritt 5.1.3.6.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Schritt 5.1.3.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 0}$

Schritt 5.1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Schritt 5.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 5.3.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 5.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.3.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 5.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Schritt 6.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Schritt 6.4

Ziehe den Term $12$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Schritt 6.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Schritt 6.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Schritt 8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0 + 2}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 2}$

Schritt 8.3.3

Addiere $0$ und $2$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3}$

Schritt 8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{3}$