Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - 3^{- 1}}{h}$

Schritt 2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - \frac{1}{3}}{h}$

Schritt 2.1.3

Um $\frac{1}{3 + h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{h}$

Schritt 2.1.4

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Schritt 2.1.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 + h) \cdot 3$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 + h}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Schritt 2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.1.5.3

Stelle die Faktoren von $(3 + h) \cdot 3$ um.

$\frac{\frac{3}{3 (3 + h)} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.1.7

Schreibe $\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.1.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.1.7.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{\frac{0 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.1.7.4

Subtrahiere $h$ von $0$ .

$\frac{\frac{- h}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{h}{3 (3 + h)}}{h}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{h}{3 (3 + h)}$ in den Zähler.

$\frac{- h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{3 (3 + h)}$

Schritt 2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3 (3 + h)}$