Analysis Beispiele

$lim_{x \to x} \sqrt{\frac{3 s^{7} - 4 s^{5}}{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{\frac{3 s^{7} - 4 s^{5}}{2 s^{7} + 1}}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $x$ annähert.

$\sqrt{\frac{3 s^{7} - 4 s^{5}}{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $s^{5}$ aus $3 s^{7} - 4 s^{5}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $s^{5}$ aus $3 s^{7}$ heraus.

$\sqrt{\frac{s^{5} (3 s^{2}) - 4 s^{5}}{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $s^{5}$ aus $- 4 s^{5}$ heraus.

$\sqrt{\frac{s^{5} (3 s^{2}) + s^{5} \cdot - 4}{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $s^{5}$ aus $s^{5} (3 s^{2}) + s^{5} \cdot - 4$ heraus.

$\sqrt{\frac{s^{5} (3 s^{2} - 4)}{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.2

Schreibe $\sqrt{\frac{s^{5} (3 s^{2} - 4)}{2 s^{7} + 1}}$ als $\frac{\sqrt{s^{5} (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$ um.

$\frac{\sqrt{s^{5} (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $s^{5} (3 s^{2} - 4)$ als ${(s^{2})}^{2} (s (3 s^{2} - 4))$ um.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $s^{4}$ aus.

$\frac{\sqrt{s^{4} s (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $s^{4}$ als ${(s^{2})}^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{{(s^{2})}^{2} s (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.3.1.3

Füge Klammern hinzu.

$\frac{\sqrt{{(s^{2})}^{2} (s (3 s^{2} - 4))}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{2 s^{7} + 1}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$ .

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 s^{7} + 1}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{2 s^{7} + 1}}{\sqrt{2 s^{7} + 1}}$ .

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{\sqrt{2 s^{7} + 1} \sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.5.2

Potenziere $\sqrt{2 s^{7} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{\sqrt{2 s^{7} + 1}}^{1} \sqrt{2 s^{7} + 1}}$

Schritt 2.5.3

Potenziere $\sqrt{2 s^{7} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{\sqrt{2 s^{7} + 1}}^{1} {\sqrt{2 s^{7} + 1}}^{1}}$

Schritt 2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{\sqrt{2 s^{7} + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{\sqrt{2 s^{7} + 1}}^{2}}$

Schritt 2.5.6

Schreibe ${\sqrt{2 s^{7} + 1}}^{2}$ als $2 s^{7} + 1$ um.

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Schritt 2.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 s^{7} + 1}$ als ${(2 s^{7} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{({(2 s^{7} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{(2 s^{7} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{(2 s^{7} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{(2 s^{7} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{{(2 s^{7} + 1)}^{1}}$

Schritt 2.5.6.5

Vereinfache.

$\frac{s^{2} \sqrt{s (3 s^{2} - 4)} \sqrt{2 s^{7} + 1}}{2 s^{7} + 1}$

Schritt 2.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{s^{2} \sqrt{(2 s^{7} + 1) s (3 s^{2} - 4)}}{2 s^{7} + 1}$

Schritt 2.7

Stelle die Faktoren in $\frac{s^{2} \sqrt{(2 s^{7} + 1) s (3 s^{2} - 4)}}{2 s^{7} + 1}$ um.

$\frac{s^{2} \sqrt{s (2 s^{7} + 1) (3 s^{2} - 4)}}{2 s^{7} + 1}$