Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Schritt 3

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $π$ und $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 7.2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 7.2.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 7.2.3

Wechsele das $\pm$ zu $+$ , da der Sinus im ersten Quadranten positiv ist.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 7.2.4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 7.2.4.5

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 7.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 7.2.4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 7.2.4.6

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 7.2.4.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.4.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 7.2.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 7.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 7.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$3.06146745 \dots$