Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Schritt 1.2

Ziehe den Term $\frac{5}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Schritt 2

Da der Zähler positiv ist und der Nenner $1 - \cos (x)$ für $x$ auf beiden Seiten nahe $0$ gegen Null geht und größer als Null ist, steigt die Funktion ohne Schranke an.

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + \infty$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5}{3} \sin (0) + \infty$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + \infty$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $0$ .

$0 + \infty$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $\infty$ .

$\infty$