Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{4}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{4}$ annähert.

$4 \frac{lim_{x \to \frac{1}{4}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{4}} \sqrt{x}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{4}$ annähert.

$4 \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{4}} \sqrt{x}}$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$4 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{1}{4}} x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{4}$ für $x$ .

$4 \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$4 \frac{1}{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}}$

Schritt 3.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$4 \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{4}}}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4 \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$4 (1 \cdot 2)$

Schritt 3.3

Multipliziere $4 (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$4 \cdot 2$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8$