Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\cot (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Schritt 1.1.3.3.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $\sec^{2} (x)$ von $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.6.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Schritt 1.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{1}{- 2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\csc^{2} (2 x)}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{4}$ annähert.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Schritt 2.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\csc^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (2 x))}^{2}}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosekans stetig ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ für $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{1 (- \sec^{2} (\frac{π}{4}))}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Schritt 4.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Schritt 4.3.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1^{2}}$

Schritt 4.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.4.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2^{1}}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2}{- 2}$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2}{- 2}$

Schritt 4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$1$