Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (x - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (x \cdot \frac{2}{2} - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2}{2} - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{2 x - π}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{x \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.1.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.1.5

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (π - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.2.3.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 2.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 2.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{π - π}$

Schritt 2.1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{2 \cdot x - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{2 x - π}{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 x - π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - π}{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - π}{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x - π}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.10

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.11

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}$ und $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.13

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \cdot \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.14.2

Dividiere $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ durch $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Schritt 2.3.15

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 2.3.16

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.16.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 2.3.16.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 2.3.16.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 2.3.17

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 + 0}$

Schritt 2.3.18

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$

Schritt 3.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sec (\frac{2 x - π}{2}))}^{2}$

Schritt 3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 x - π}{2})$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π)$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π))$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))$

Schritt 5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (π - π))$

Schritt 5.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (0)$

Schritt 5.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Schritt 5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$