Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\tan (4 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wandle von $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ nach $\tan (4 x)$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 1.4.2

Wandle von $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ nach $\cot (5 x)$ um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Schritt 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Schritt 8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Schritt 8.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Schritt 8.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Schritt 8.4

Kombiniere $5$ und $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

Schritt 8.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Schritt 8.6

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$0 \cdot 0$

Schritt 8.7

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$0$