Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{x - \frac{π}{2}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Schritt 1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Schritt 2

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (2 π) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\tan (2 π)$ und $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (2 π) \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert von $\tan (2 π) \cdot 2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{\tan (2 π) \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.2.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\tan (0) \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.2.2.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.2.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 3.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Schritt 3.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Schritt 3.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Schritt 3.1.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{0}{π - π}$

Schritt 3.1.3.3.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π) \cdot 2}{x \cdot 2 - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (2 π) \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (2 π) \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (0) \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [0 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3.5

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \cdot 2 - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.7.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Schritt 3.3.8

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 + 0}$

Schritt 3.3.9

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 (0)}{2}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{1}$

Schritt 3.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} 0$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $0$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$0$